Question

X∈(0,1),Xn+1=Xn(1-Xn),证明n趋于无穷lim nXn=1

Answer 1

(1)

x(n+1) - xn = -xn^2 <0 所以单调递减，有界，所以xn ->0(n->无穷)
(2)
用stolz公式的无穷比无穷形式
1、递推公式取到数：1/x(n+1) - 1/xn = 1/(1-xn)由于xn递减所以设{an}，lim an=lim 1/xn （n->无穷时） 趋于无穷
设bn = n,则bn->无穷(n->无穷时)
2、[b(n+1) - bn]/[a(n+1) - an] =[n+1 - n]/[1/x(n+1) - 1/xn] = [1]/[1/(1-xn)],因为xn趋于0，所以上式 = 1,(n->无穷时)
3、由stolz公式可得:bn/an = 1 , (n->无穷时)
得证

Answer 2

Xn=(Xn-1)*[1-(Xn-1)]*[1-(Xn-1)-(Xn-1)^2]=-----=X1*[1-X1]*[1-X1-X1^2]*[1-X1-X1^2-X1^3]……[1-X1-X1^2-X1^3-X1^4-……X1^n];
因为0<x1<1,所以<01-X1<1,且一定有上式单调递减且上式小于0,所以收敛；且收敛的结果为1.

追问

我要的是nXn的极限