Question

求y=x²与x=y²所围成的图形的面积，并求此图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。要详细步骤

考试中

Answer 1

解：
y=x²与x=y² 的交点为：x1=0；y1=0；
x2=1；y2=1；

相交区域位于第一象限，x=y² ==> y =√x ，面积：
S = [0,1]∫(√x - x²)dx = (2/3*x√x - x³/3)|[0,1] = 1/3
若图形围绕x轴旋转，则在横坐标=x 处，以dx为厚度形成的圆环形体及维元为：
dV = π[(√x)² -(x²)²]*dx = π(x - x^4)*dx
V = [0,1]∫ π(x - x^4)*dx = π(x²/2 - x^5/5) |[0,1] = 0.3π

Answer 2

y=x²与x=y² 的交点为：x1=0；y1=0；
x2=1；y2=1；

相交区域位于第一象限,x=y² ==> y =√x ,面积：
S = [0,1]∫(√x - x²)dx = (2/3*x√x - x³/3)|[0,1] = 1/3
若图形围绕x轴旋转,则在横坐标=x 处,以dx为厚度形成的圆环形体及维元为：
dV = π[(√x)² -(x²)²]*dx = π(x - x^4)*dx
V = [0,1]∫ π(x - x^4)*dx = π(x²/2 - x^5/5) |[0,1] = 0.3π