Question

计算二重积分?D1?x2?y21+x2+y2dσ，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域

计算二重积分?D1?x2?y21+x2+y2dσ，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域．

Answer 1

在极坐标系下计算这个二重积分，
由题意，D＝{(r，θ)|0≤θ≤

π

2

，0≤r≤1}．
∴

?

D

1?x2?y2 1+x2+y2

dσ=

∫

π 2 0

dθ

∫

1 0

1?r2 1+r2

rdr
=

π

2

.

1

2

∫

1 0

1?r2 1+r2

dr2

令r2＝t .

.

π

4

∫

1 0

1?t 1+t

dt
=

π

8

(π?2)．