Question

概率论数理统计问题~求解！！

灯泡合格率0.6，求10000个灯泡中合格灯泡数再5900~6100的概率

Answer 1

楼上的做法没错，但是不太可能手算出来。这一题应该用中心极限定理，事实上二项分布的极限分布也是正态分布。
当n足够大时，譬如题目n=10000，可用中心极限定理。
令Xi=1当第i个灯泡合格；Xi=0，当第i个灯泡不合格，则由题目P（Xi=1)=0.6,P(Xi=0)=0.4。
EXi=0.6，A=求和E（Xi)(i从1到n=10000）=6000，D（Xi)=0.24，B^2=求和D（Xi）（i从1到n=10000）=2400，B=20*根号（6）
令Y=求和Xi（i从1到n=10000），则Y就是10000个灯泡中合格的个数
令Z=（Y-A)/B，
由中心极限定理，可知P（Z<a)=标准正态分布从负无穷到a的积分。
因为P（5900<Y<=6100)就是所求，我们想办法把P（5900<Y<=6100)化成Z的概率
因为Z=（Y-A)/B，
所以P（5900<Y<=6100)=P（(5900-A)/B<Z<=(6100-A)/B))=f((6100-A)/B)-f((5900-A)/B)
其中f为标准正态概率密度函数，下面只要查表就可以求出f((6100-A)/B)和f((5900-A)/B)，结果就出来了。
打得好累啊，不过也算又复习了一遍了。

Answer 2

合格灯泡数X服从B(10000,0.6)分布
P{5900<=X<=6100}=P{X<=6100}-P{X<5900}=Σ(i=0->6100)C(10000,i)(0.6)^i (0.4)^(10000-i)
-Σ(i=0->5899)C(10000,i)(0.6)^i (0.4)^(10000-i)
上式也可以合并成Σ(i=5900->6100)C(10000,i)(0.6)^i (0.4)^(10000-i)
如果用泊松分布迫近二项分布
上式可写成= Σ(k=0->6100)(6000)^k ×e^(-6000)/k! -Σ(k=0->5899)(6000)^k ×e^(-6000)/k!
其中Σ(6000)^k/k!是e^x泰勒展开
上式可化简为=(e^6000-R1) ×e^(-6000)-(e^6000-R2) ×e^(-6000)
=e^(-6000)(R2-R1)
其中R2是e^x在x=6000的泰勒展开的前5899项泰勒余项
R1是e^x在x=6000的泰勒展开的前6100项泰勒余项