Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2，左，右焦点分别为F1,F2，点P（2，√3）

点F2在PF1的中垂线上。（1）求椭圆C的方程（这个问不用回答了）（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M.N两点，直线F2M与F2N的的倾斜角分别为α，β，且α+β=π（派），试问直线l是否过定点？若过，求该点的坐标。 过程详细点哦

Answer 1

MN存在斜率，设y=kx+m。
x²／2+y²=1。y=kx+m
（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
x1+x2=-4km／2k²+1，x1x2=2m²-2／2k²+1，且 kF2M=kx1+m／x1-1，kF2N=kx2+m／x2-1
由已知α+β=π，
kF2M+kF2N=0，
kx1+m／x1-1+kx2+m／x2-1=0．
2kx1x2+（m-k）（x1+x2-2m=0
∴ 2k•﹙2m²-2／2k²+1﹚-4km(m-k)／﹙2k²+1﹚-2m=0
m=-2k．
∴y=k（x-2），（2，0）

追问

第一问也解一下，谢谢。为什么由已知α+β=π，
kF2M+kF2N=0？

追答

α+β=π可推断两直线斜率之和为0。即kF2M+kF2N=0。
e=√2／2
c／a=√2／2，其中 c=√a2-b2，
F1（-c，0），F2（c，0）
又点F2在线段PF1的中垂线上
∴ |F1F2|=|PF2|，∴(2c)2=(√3)2+(2-c)2
c=1，a2=2，b2=1，
∴ x2／2+y2=1．

Answer 2

1）椭圆方程为 ：x^2/2+y^2=1;
2）F2(1,0);设M(x1, y1),N(x2, y2)
将直线方程代入到椭圆方程可得到 ：(2*k^2+1)*x^2+4*k*m*x+2*m^2-2=0;
所以得到：x1+x2=-4*k*m/(2*k^2+1); x1*x2=(2*m^2-2)/(2*k^2+1);
因为α+β=π，并且tan（π-α）= - tan(α);
所以直线F2M与直线F2N的斜率互为相反数，即和为零；
即：y2/(x2-1)+y1/(x1-1)=0;即(k*x2+m)/(x2-1)+(k*x1+m)/(x1-1)=0;
化简得到2*k*x1*x2+(m-k)*(x1+x2)-2*m=0;
代入x1*x2和x1+x2,得到
2*k*[(2*m^2-2)/(2*k^2+1)]+(m-k)*[-4*k*m/(2*k^2+1)]-2*m=0;
化简得到 m+2*k=0; 即 m=-2*k;
所以，直线 l 方程为 y=k*x+m=k*x-2*k=k*(x-2);
所以直线恒过点（2,0）

追问

第一问也回答下...我解错了

追答

1）e=c/a=√2/2,得到a=√2c
设F1（-c，0），F2（c，0）
因为F2在PF1的中垂线上，所以|F1F2|=|PF2|；即
2c = √(2-c)^2+(√3)^2;
解得 c=1；所以a=√2；b=√（a^2-c^2）=1.
方程为x^2/2+y^2=1.