Question

（本题满分14分）已知 是函数 的一个极值点.（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求函数 的单调区间；（Ⅲ）若直线 与

（本题满分14分）已知 是函数 的一个极值点.（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）求函数 的单调区间；（Ⅲ）若直线 与函数 的图象有3个交点，求 的取值范围.

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Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ） 的单调增区间是 ， 的单调减区间是 （Ⅲ） 。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数求解参数的值，以及函数的单调区间，和函数与方程的关系的综合运用。 （1）由于 是函数 的一个极值点.，则说明在该点的导数值为零，得到参数a的值。 （2）然后利用第一问的结论，得到导数，结合导数的符号与单调性的关系，求解单调区间。 （3）分离函数的思想，研究两个图像的交点个数，即为方程解的问题的运用。 （Ⅰ）因为 所以 因此 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当 时， 当 时， 所以 的单调增区间是 的单调减区间是 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，且当 或 时， 所以 的极大值为 ，极小值为 因此 所以在 的三个单调区间 直线 有 的图象各有一个交点，当且仅当 因此， 的取值范围为 。