Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d=1，前n项和为S n ， b n = 1 S n ，（1）求

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d=1，前n项和为S n ， b n = 1 S n ，（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求证：b 1 +b 2 +…+b n ＜2．

Answer 1

（1）∵等差数列{a n }中a 1 =1，公差d=1 ∴ S n =n a 1 + n(n-1) 2 d= n 2 +n 2 ∴ b n = 2 n 2 +n …（4分） （2）∵ b n = 2 n 2 +n = 2 n(n+1) …（6分） ∴ b 1 + b 2 + b 3 +…+ b n =2( 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 n(n+1) ) = 2(1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 n - 1 n+1 ) …（8分） = 2(1- 1 n+1 ) …（11分） ∵n＞0， ∴ 0＜ 1 n+1 ＜1 ∴ 0＜2(1- 1 n+1 )＜2 ∴b 1 +b 2 +…+b n ＜2．            …（14分）