Question

如图1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，点E在AB边上，点F在AC边的延长线上，连接EF交BC于点M，交AD于

如图1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，点E在AB边上，点F在AC边的延长线上，连接EF交BC于点M，交AD于点N，∠AEF=2∠F，EM=FM．（1）求证：∠B=32∠F．（2）如图2，过点A作AH⊥EF于H，若AH=5，△AEN的面积为15，求线段CF的长．

Answer 1

解：（1）如图1，过点E作EG∥AC交BC于点G，
∴∠BGE=∠BCA，∠GEM=∠F，
∵∠AEF=2∠F，
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F．
即∠AEG=3∠F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∴∠BGE=∠B．
∵∠AEG=∠B+∠BGE，
∴∠AEG=2∠B，
∴3∠F=2∠B，
∴∠B=

3

2

∠F；
（2）如图2，作EL∥BC交AC于L，连结NL
∴∠AEL=∠ALE=∠B=∠ACB=

3

2

∠F．
∴∠LEN=2∠F-

3

2

∠F=

1

2

∠F．
∵EG∥AC，EL∥BC，
∴四边形EGCL是平行四边形，
∴EG=LC．
在△EGM和△FCM中，

∠GEM＝∠F EM＝FM ∠GME＝∠FMC

，
∴△EGM≌△FCM（ASA），
∴EG=CF，
∴LC=CF．
∴CF=

1

2

LF．
∵∠AEL=∠ALE，
∴AE=AL．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△EAN和△LAN中

EA＝LA ∠BAD＝∠CAD AN＝AN

，
∴△EAN≌△LAN（SAS），
∴EN=LN．
∴∠LEN=∠ELN=

1

2

∠F．．
∵∠LNF=∠LEN+∠NLE=∠F，
∴LN=LF，
∴EN=LF．
∵

1

2

EN?AH=15，
∴

1

2

×5EN=15，
∴EN=6．
∴LF=6，
∴CF=3．