Question

已知非零函数f（x)对任意实数ab均有f(a+b)=f(a)f（b) 解题过程谢

当F（1）=1/16时，解不等式f(x-3)*F(5)≤1/4

Answer 1

少个条件吧：当x<0时，f(x)>1。

非零函数f(x)对实数a,b均有f(a+b)=f(a)*f(b)且当x<0时，f(x)>1。
当f(4)=1/16时，解不等式f(x-3)*f(5)<=1/4
【解】
1.令a=x/2,b=x/2，
对任意实数a、b 有，f（a+b）=f(a)*f(b)=> f(x)=f(x/2)^2>0
(因为函数是非零函数，f(x/2)≠0)
2.令a=0 b=0
f(0)=f(0)^2 ，f(0)=1
令a=x ，b=-x ，f(0)=f(x)f(-x)=1，所以f(-x)=1/ f(x).
设x1>x2
令a=x2， b=-x1
f(x2-x1)=f(x2)f(-x1)=f(x2)/f(x1)
x2-x1<0 则f(x2-x1)>1 则f(x2)/f(x1)>1 则f(x2)>f(x1)
所以函数是减函数。
3.
f(4)=f(2)*f(2)=1/16,则f(2)=1/4.
∴f(x-3)*f(5)=f(x+2)≤1/4=f(2)
因为函数是减函数，所以x+2≥2
∴x≥0.