Question

夹逼准则证明lim(X→∞)X^(1/X)=1

RT，答案提示是[x]<=x<[x]+1，[x]是什么意思？求大神告诉我这道题的解题过程。谢谢了！

Answer 1

[x]是代表不超过x的最大整数
y=(lnx)/x 这个函数是单调递增的 所以(ln[x])/[x]<=(lnx)/x<(ln[x]+1)/([x]+1)
lim(n趋于无穷) (ln n)/n = 0 (n是整数)

所以lim (ln[x])/[x]＝lim (ln[x]+1)/([x]+1)=0
由夹逼定理 lim(x趋于无穷) (lnx)/x＝0
所以lim(x趋于无穷) x^(1/x)=lim(x趋于无穷) e^((lnx)/x) = e^0=1

不过我觉得这个题应该不用这个也能做吧
x^(1/x)=e^((lnx)/x)
lim(x趋于无穷) (lnx)/x = 0 (这个应该很明显吧 或者严谨一点 你用洛必达法则也行 上下分别求导 就等于1/x 的极限值 也是0)
所以lim(x趋于无穷) x^(1/x)=lim(x趋于无穷) e^((lnx)/x) = e^0=1