Question

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．（1）求证：△BOE≌△

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），AE∥CF（矩形的对边平行）． ∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF． ∴△BOE≌△DOF（AAS）． （2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）． 又由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 又EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．