Question

设f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数是19，（m、n∈N*，当f（x）展开式中x2的系数取到最小值时，

设f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数是19，（m、n∈N*，当f（x）展开式中x2的系数取到最小值时，则f（x）展开式中x3的系数为______．

Answer 1

∵f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数是19，（m、n∈N^*），
∴

C

1 m

+

C

1 n

=m+n=19；①
f（x）展开式中x²的系数为：

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m?1)

2

+

n(n?1)

2

=

1

2

（m²+n²）-

1

2

（m+n）
=

1

2

[（m+n）²-2mn]-

1

2

（m+n）
=

1

2

（361-2mn）-

19

2

=171-mn．
∵m+n=19，（m、n∈N^*），
∴19=m+n≥2

mn

，
∴mn≤

361

4

，-mn≥-

361

4

（当且仅当m=n=

19

2

时取“=”）．
∵m、n∈N^*，
∴当m=9，n=10或m=10，n=9时，f（x）展开式中x²的系数取到最小值171-90=81．
∴f（x）展开式中x³的系数为：

C

3 9

+

C

3 10

=84+120=204．
故答案为：204．