Question

已知数列{an}的前n项的和为Sn=n2+n，{bn}是等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=6b1．（1）求数列{an}和{bn}

已知数列{an}的前n项的和为Sn=n2+n，{bn}是等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=6b1．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项的和Tn．（3）设dn=n(n+1)bn，数列{dn}的前n项的和为Dn，求证：Dn＜n?3n．

Answer 1

（1）解：∵S_n=n²+n
∴S_n-1=（n-1）²+（n-1）=n²-n（n≥2）
∴a_n=2n（n≥2）
又a₁=S₁=2满足a_n=2n
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
又a₁=b₁，∴b₁=2，
∵b₂（a₂-a₁）=6b₁，
∴b₂=6，∴q=3，
∴b_n=2×3^n-1．  
（2）解：c_n=

an

bn

=

n

3n?1

，
∴T_n=1+2?3+3?3²+…+n?3^n-1，
∴

1

3

T_n=

1

3

+2?3²+3?3³+…+n?3ⁿ，
∴两式相减整理可得T_n=

9

4

-

2n+3

4×3n?1

；
（3）证明：由d_n=

n(n+1)bn

，可得d_n=

n(n+1)

×2×3^n-1，
∴D_n=

1×2

×2+

2×3

×2×3+…+

n(n+1)

×2×3^n-1
＜（1+2）+（2+3）×3+…+（n+n+1）×3^n-1
=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）×3^n-1，
令M_n=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）×3^n-1，①
3M_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）×3ⁿ，②
①-②得：-2M_n=3+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n+1）×3ⁿ=-2n?3