如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A-PC-D的...
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A-PC-D的正弦值（理科）；（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值（文科）；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
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（1）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD；
∴PA⊥AD，即AD⊥PA；
又AD⊥AC，PA∩AC=A；
∴AD⊥平面PAC，PC?平面PAC；
∴AD⊥PC，即PC⊥AD；
（2理）如图，过A作AM⊥PC，交PC于M，并连接DM；
由（1）知PC⊥AD，∴PC⊥平面ADM，DM?平面ADM；
∴PC⊥DM；
∴∠AMD是二面角A-PC-D的平面角；
PC=
；
∴
?AM＝1?2；
∴AM＝
；
∴在Rt△ADM中，DM=
＝
，sin∠AMD=
＝
＝
；
（2文）取AC中点N，连接PN，由已知条件知，AB=BC=
，
∴BN⊥AC；
∵PA⊥平面ABCD；
∴PA⊥BN，即BN⊥PA，PA∩AC=A；
∴BN⊥平面PAC；
∴∠BPN是直线PB与平面PAC所成角；
BN=
?
＝
；
在Rt△PAB中，PB=
＝
；
∴在Rt△PBN中，sin∠BPN＝
＝
＝
；
（3）如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF；
∴∠EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角；
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC；
在Rt△DAC中，CD=
，sin∠ADC＝
；
∴sin∠AFB＝
；
∴在△AFB中，由
＝
，AB＝
∴PA⊥AD，即AD⊥PA；
又AD⊥AC，PA∩AC=A；
∴AD⊥平面PAC，PC?平面PAC；
∴AD⊥PC，即PC⊥AD；
（2理）如图，过A作AM⊥PC，交PC于M，并连接DM；
由（1）知PC⊥AD，∴PC⊥平面ADM，DM?平面ADM；∴PC⊥DM；
∴∠AMD是二面角A-PC-D的平面角；
PC=
| 5 |
∴
| 5 |
∴AM＝
| 2 | ||
|
∴在Rt△ADM中，DM=
4+
|
|
| AD |
| DM |
| 2 | ||||
|
| ||
| 6 |
（2文）取AC中点N，连接PN，由已知条件知，AB=BC=
| ||
| 2 |
∴BN⊥AC；
∵PA⊥平面ABCD；
∴PA⊥BN，即BN⊥PA，PA∩AC=A；
∴BN⊥平面PAC；
∴∠BPN是直线PB与平面PAC所成角；
BN=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△PAB中，PB=
4+
|
| 3 | ||
|
∴在Rt△PBN中，sin∠BPN＝
| BN |
| PB |
| ||||
|
| ||
| 6 |
（3）如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF；
∴∠EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角；
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC；
在Rt△DAC中，CD=
| 5 |
| 1 | ||
|
∴sin∠AFB＝
| 1 | ||
|
∴在△AFB中，由
| BF |
| sin∠FAB |
| AB |
| sin∠AFB |
|
