Question

已知a>0，a不等于1 f（log以a为底X的对数）=【a/（a^2-1）】*（x-1/x)

1 求函数f(x)的表达式 并写出f(X)的定义域
2 判断f(x)的单调性 并给予证明
3 若不等式f(x^2)+f(kx+1)小于等于0 对实数x属于(1,2)恒成立 求实数k的取值范围

Answer 1

(1)解：令t=log a ^x,则x=a^t,(t属于R），
所以f（t）=【a/（a^2-1）】*（a^t-1/a^t)
即f（x）=[a/(a^2-1)]*(a^x-1/a^x),x属于R
（2)解：当a>1时，a/(a^2-1) >0,a^t单调递增，-1/a^t单调递增，故f（x）单调递增
当0<a<1时，a/(a^2-1)<0, a^t单调递减，-1/a^t单调递减，（a^t-1/a^t）递减，故f（x）递增
综上所述，f（x）为增函数
还有一种证明方法是用导数
（3）解：f（-x）=[a/(a^2-1)](a^-x-1/a^-x)=-f(x)
由题意可得不等式f(x^2)+f(kx+1)小于等于0 对实数x属于(1,2)恒成立
即f(x^2)+f(kx+1)<=0 对实数x属于(1,2)恒成立
即f（kx+1)<=-f(x^2)=f(x^2) 对实数x属于(1,2)恒成立
又由f（x）为增函数，即kx+1<=x^2 对实数x属于(1,2)恒成立
而x>0,即k<=x-1/x 对实数x属于(1,2)恒成立
即有k<=(x-1/x)min 对实数x属于(1,2)恒成立
很显然y=x-1/x是递增函数，y>y(1)=0,所以，k<=0