Question

已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的离心率为(根号2)/2,左右焦点分别为

已知椭圆C:x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1(a>b>0)的离心率为(根号2)/2,左右焦点分别为F1，F2，点P（2，根号3），点F2在线段PF1的中垂线上。
（1）求椭圆C的方程
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交与M，N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标

Answer 1

1
e=c/a=√2/2
c^2=a^2/2
b^2=a^2-c^2=a^2/2
x^2/2c^2+y^2/c^2=1
F1(-c,0) F2(c,0)
PF2中点S Sx=(c+2)/2 Sy=√3/2
F1S垂直PF2： (√3/2)/[(c+2)/2+c] =-1/[√3/(2-c)]
√3/(3c+2)=(c-2)/√3
(3c+2)(c-2)=3
3c^2-4c-7=0
(3c-7)(c+1)=0
c=7/3 c^2=49/9
方程 x^2/(98/9)+y^2/(49/9)=1

2
因为y=kx+m,M、F2、N在一条线上，
y=kx+m过F2(7/3,0)

追问

第一小问错了吧(O_O)？，应该是F2S垂直于PF1吧~

追答

谢谢，误算
F2S垂直PF1： (√3/2)/[(c+2)/2-c] =-1/[√3/(2+c)]
√3/(2-c)=(c+2)/√3
4-c^2=3
c^2=1
c=1
e=c/a=√2/2
a=√2, b=1
方程 x^2/2+y^2=1

2
因为y=kx+m,M、F2、N在一条线上，
y=kx+m过F2(1,0)

Answer 2

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