Question

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

速度！！！在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．
（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

证明：（1）在四边形ABCD中，

∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，

∴∠CAB=∠CAD=60°．

又∵∠B=∠D=90°，

∴∠ACB=∠ACD=30°．

∴AB=AD=1 2 AC，

即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．

证明如下：如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．

∵AC平分∠DAB，

∴CE=CF．

∵∠ABC+∠D=180°，

∠ABC+∠CBF=180°，

∴∠CBF=∠D．

又∵∠CED=∠CFB=90°，

∴△CED≌△CFB．

∴ED=BF．

∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．

∵AC为角平分线，∠DAB=120°，

∴∠ECA=∠FCA=30°，

∴AE=AF=1 2 AC，

∴AE+AF=AC，

∴AB+AD=AE+AF=AC．

∴AB+AD=AC．

（3）AB+AD= 2 AC．

证明如下：如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．

∵AC平分∠DAB，

∵CE⊥AD，CF⊥AF，

∴CE=CF．

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∠ADC+∠FDC=180°，

∴∠ABC=∠FDC．

又∵∠CEB=∠CFD=90°．

∴△CFB≌△CED．

∴CB=CD．

延长AB至G，使BG=AD，连接CG．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，

∴∠CBG=∠ADC．

∴△GBC≌△ADC．

∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．

∴∠ACG=90°．

∴AG= 2 AC．

∴AB+AD= 2 AC．

Answer 2

解:（1）∠DAB=120°，∠B=∠D=90°对角线AC平分∠DAB．
所以∠DCA=∠BCA=30度。又因三角形ABC和ADC是直角三角形。所以AD=AB=1/2AC.
所以AB+AD=AC
（2）当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，AB+AD=AC
ABCD共圆，延长DA至点P,使AP=AB。因为∠DAB=120所以其外角∠PAB=60°.所以三角形ABP为等边三角形。因为∠DAB=120°且与∠BCD互补，所以∠BCD=60度，因为ABCO共圆，所以∠BAC=∠BDC=60度∠BDA=∠BCA，所以三角形BCD为等边三角形，所以BC=BD.在三角形ABC和PBD中,∠P=∠BAC=60度，∠BDA=∠BCA，BC=BD.所以；三角形ABC和PBD全等。所以AC=DP=AD+AB
(3)AB+AC等于根号2倍AC

Answer 3

①判断三角形ABC为直角三角形，并AB边对面的角为30度，因此AB=AC/2，以同样的原理可以推导出AD=AC除以2结果AB+AD=AC。
②三角形ABC的各角之和为180度，即 60 + ∠B + ∠ACB =180 ；同样，三角形ADC的各角之和为180度，即 60 + ∠D + ∠ACD =180 ；由于∠B + ∠D=180，由此可得出∠ACB =∠ACD ，由于两个角和中间的边相等，因此这两个三角形相等，即AB=DC，AD=BC，AB、AD、AC之间的关系可以用三角形余弦公式来表示，即 AD^2=AB^2 + AC^2 -AB*AC。
③ 如果∠DAB=90°，∠B与∠D互补性，可以判断这四边形为矩形，AB、AD、AC之间的关系为 AC^2=AB^2 + AD^2。

Answer 4

①根据题意，判断三角形ABC为直角三角形，并AB边对面的角为30度，因此AB=AC/2，同理可得AD=AC/2，结果AB+AD=AC。
②三角形ABC的各角之和为180度，即 60 + ∠B + ∠ACB =180 ；同样，三角形ADC的各角之和为180度，即 60 + ∠D + ∠ACD =180 ；由于∠B + ∠D=180，由此可得出∠ACB =∠ACD ，由于两个角和中间的边相等，因此这两个三角形相等，即AB=DC，AD=BC，AB、AD、AC之间的关系可以用三角形余弦公式来表示，即 AD^2=AB^2 + AC^2 -AB*AC。
③ 如果∠DAB=90°，根据条件∠B与∠D互补，可以判断这四边形为矩形，这样AB、AD、AC之间的关系为 AC^2=AB^2 + AD^2。

Answer 5

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