在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.
(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC.
(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明. 展开
证明:(1)在四边形ABCD中,
∵AC平分∠DAB,∠DAB=120°,
∴∠CAB=∠CAD=60°.
又∵∠B=∠D=90°,
∴∠ACB=∠ACD=30°.
∴AB=AD=1 2 AC,
即AB+AD=AC.
(2)AB+AD=AC.
证明如下:如图②,过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F.
∵AC平分∠DAB,
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠D=180°,
∠ABC+∠CBF=180°,
∴∠CBF=∠D.
又∵∠CED=∠CFB=90°,
∴△CED≌△CFB.
∴ED=BF.
∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF.
∵AC为角平分线,∠DAB=120°,
∴∠ECA=∠FCA=30°,
∴AE=AF=1 2 AC,
∴AE+AF=AC,
∴AB+AD=AE+AF=AC.
∴AB+AD=AC.
(3)AB+AD= 2 AC.
证明如下:如图③,过C点分别作AB和AD延长线的垂线段,垂足分别是E、F.
∵AC平分∠DAB,
∵CE⊥AD,CF⊥AF,
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∠ADC+∠FDC=180°,
∴∠ABC=∠FDC.
又∵∠CEB=∠CFD=90°.
∴△CFB≌△CED.
∴CB=CD.
延长AB至G,使BG=AD,连接CG.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBG=180°,
∴∠CBG=∠ADC.
∴△GBC≌△ADC.
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°.
∴∠ACG=90°.
∴AG= 2 AC.
∴AB+AD= 2 AC.
所以∠DCA=∠BCA=30度。又因三角形ABC和ADC是直角三角形。所以AD=AB=1/2AC.
所以AB+AD=AC
(2)当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,AB+AD=AC
ABCD共圆,延长DA至点P,使AP=AB。因为∠DAB=120所以其外角∠PAB=60°.所以三角形ABP为等边三角形。因为∠DAB=120°且与∠BCD互补,所以∠BCD=60度,因为ABCO共圆,所以∠BAC=∠BDC=60度∠BDA=∠BCA,所以三角形BCD为等边三角形,所以BC=BD.在三角形ABC和PBD中,∠P=∠BAC=60度,∠BDA=∠BCA,BC=BD.所以;三角形ABC和PBD全等。所以AC=DP=AD+AB
(3)AB+AC等于根号2倍AC
②三角形ABC的各角之和为180度,即 60 + ∠B + ∠ACB =180 ;同样,三角形ADC的各角之和为180度,即 60 + ∠D + ∠ACD =180 ;由于∠B + ∠D=180,由此可得出∠ACB =∠ACD ,由于两个角和中间的边相等,因此这两个三角形相等,即AB=DC,AD=BC,AB、AD、AC之间的关系可以用三角形余弦公式来表示,即 AD^2=AB^2 + AC^2 -AB*AC。
③ 如果∠DAB=90°,∠B与∠D互补性,可以判断这四边形为矩形,AB、AD、AC之间的关系为 AC^2=AB^2 + AD^2。
②三角形ABC的各角之和为180度,即 60 + ∠B + ∠ACB =180 ;同样,三角形ADC的各角之和为180度,即 60 + ∠D + ∠ACD =180 ;由于∠B + ∠D=180,由此可得出∠ACB =∠ACD ,由于两个角和中间的边相等,因此这两个三角形相等,即AB=DC,AD=BC,AB、AD、AC之间的关系可以用三角形余弦公式来表示,即 AD^2=AB^2 + AC^2 -AB*AC。
③ 如果∠DAB=90°,根据条件∠B与∠D互补,可以判断这四边形为矩形,这样AB、AD、AC之间的关系为 AC^2=AB^2 + AD^2。