Question

1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合）

过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

1:
从图得：EC=4-x FC=3+y
勾股定理 AE=根号(9+x²) FE=根号[(4-x)²+(3+y)²] AF=根号(16+y²)
再次勾股定理在△AEF中有 AF²+AE²=EF²
代入得 9+x²+16+y²=(4-x) ²+(y+3) ²
解得 6y=8x
y=4x/3 (0＜x＜4)

2:
AD=BF=3
∴ DE=9/4
解得所有边：AE=15/4 EF=25/4 AF=5 AD=3
有DE/AE=AD/AF=AE/EF=3/5
即：△AEF∽△DEA

3:
分三类AE=AG、AE=GE、AG=GE
第一种AE=AG:AG=根号(9+x²) GB=4-根号(9+x²)
∵AB∥DC ∴GB:EC=FB:FC
代入解得x=7/8满足x在0到4范围内 即DE=7/8
第二种AE=GE 过点G向DC作垂线有GH⊥DC 由AAS证得△ADE≌△GHE
那么EH=DE=x GB=HC=4-2x GH=3 利用GB:EC=FB:FC 代入解得x=3/2
第三种AG=GE 在Rt△AEF中 当AG=GE那么EG=FG=AG G为EF中点 AG为中线
此时FB=BC=3 y=3 x=9/4 就是第二题的情况