如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角
如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．...
如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
展开
1个回答
展开全部
（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=
=5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴
=
，即
=
，AD=
．
（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：
如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤
时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即
=
，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴
=
，EF=
x，
S△AEF=y=
AE?EF=
x?
x=
x2．
如图B：当AD＜x≤AB，即
＜x≤5时，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴
=
，
∵AE=x，△AEF的面积为y，
=
，
∴EF=
，
y=
×AE×EF=
x?
∴AB=
| 32+42 |
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴
| AD |
| AC |
| AC |
| AB |
| AD |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
（2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论：
如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤
| 9 |
| 5 |
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即
| AE |
| AC |
| EF |
| BC |
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴
| x |
| 3 |
| EF |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
S△AEF=y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
如图B：当AD＜x≤AB，即
| 9 |
| 5 |
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴
| EB |
| BC |
| EF |
| AC |
∵AE=x，△AEF的面积为y，
| 5?x |
| 4 |
| EF |
| 3 |
∴EF=
| 15?3x |
| 4 |
y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
