Question

已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且{an}、{bn}满足条件：S4=4a3-2

已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且{an}、{bn}满足条件：S4=4a3-2，Tn=2bn-2．（1）求公差d的值；（2）若对任意的n∈∈N*，都有Sn≥S5成立，求a1的取直范围；（3）若a1=1，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和．

Answer 1

（1）解：设等比数列{b_n}的公比为q，
由S₄=4a₃-2，得：
4a1+

4×3

2

d＝4(a1+2d)?2，
解得d=1．（2分）
（2）解：由公差d=1＞0知数列{a_n}是递增数列
由S_n≥S₅最小知S₅是S_n的最小值
∴

S4≥S5 S6≥ S   5

，∴

a5≤0 a6≥0

．（4分）
即

a1+4≤0 a1+5≥0

，解得：-5≤a₁≤-4
∴a₁的取值范围是[-5，-4]．（6分）
（3）解：a₁=1时，a_n=1+（n-1）=n
当n=1时，b₁=T₁=2b₁-2，解得b₁=2
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，
化为b_n=2b_n-1．
∴数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn＝2?2n?1=2ⁿ，
∴cn