Question

已知函数f（x）=（x+2）|x-2|．（1）若不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解不

已知函数f（x）=（x+2）|x-2|．（1）若不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解不等式f（x）＞3x．

Answer 1

（1）当x∈[-3，1]时，f（x）=（x+2）|x-2|=（x+2）（2-x）=-x²+4．
∵-3≤x≤1，∴0≤x²≤9．于是-5≤-x²+4≤4，
即函数f（x）在[-3，1]上的最大值等于4．
∴要使不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，实数a的取值范围是[4，+∞）．
（2）不等式f（x）＞3x，即（x+2）|x-2|-3x＞0．
当x≥2时，原不等式等价于x²-4-3x＞0，解得x＞4，或x＜-1．
又∵x≥2，∴x＞4．
当x＜2时，原不等式等价于4-x²-3x＞0，即x²+3x-4＜0，解得-4＜x＜1，满足x＜2．
综上可知，原不等式的解集为{x|x＞4，或-4＜x＜1}．