Question

已知函数f（x）=|x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（a

已知函数f（x）=|x-1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（ba）．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=

?2x?2，x＜?3 4，?3≤x≤1 2x+2，x＞1

，
当x＜-3时，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
当-3≤x≤1时，f（x）=4≥8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
∴不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤-5，或x≥3}．              
（Ⅱ）证明：∵f（ab）＞|a|f（

b

a

）?|ab-1|＞|a-b|，
又|a|＜1，|b|＜1，
∴|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
∴|ab-1|＞|a-b|．
故所证不等式成立．