Question

如图，抛物线y=ax 2 +bx-3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 且OB=OC=3OA。（1）求抛物线的解析式；（

如图，抛物线y=ax 2 +bx-3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 且OB=OC=3OA。（1）求抛物线的解析式；（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（3）直线y=- x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点，若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值。

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Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax 2 +bx-3与y轴交C点（0，-3），且OB=OC=3OA， ∴A（-1，0），B（3，0），代人y= ax 2 +bx-3，得 解得a=1，b=-2， ∴y=x 2 -2x-3；
（2）①当∠P 1 AC=90° 可证△P 1 AO∽△ACO， ∴Rt△P 1 AO中，tan ∠P 1 AO=tan∠ACO= ，P 1 （0， ）， ②同理：如图，当∠P 2 CA=90°时，P 2 （9，0）， ③当∠CP 3 A=90°时，P 3 （0，0）， 综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是 P 1 （0， ），P 2 （9，0），P 3 （0，0）；
（3）由y=- x+1，得D（0，1）， 由y=x 2 -2x -3，得顶点 E（1，-4）， ∴ ∵BC 2 +CE 2 =BE 2 ∴△BCE为直角三角形， ∴tanβ=CE/CB= ， 又∵Rt△DOB中，tan∠DBO=OD/OB= ， ∴∠DBO=∠β， ∴∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°。