Question

求微分方程xy′lnx+y=x（lnx+1）的通解

求微分方程xy′lnx+y=x（lnx+1）的通解．

Answer 1

求微分方程xy′lnx+y=x（lnx+1）的通解
解：先求齐次方程xy′lnx+y=0的通解：
分离变量得dy/y=-dx/(xlnx)
积分之得lny=-∫d(lnx)/lnx=-lnlnx+lnC=ln(C/lnx)
故得齐次方程的通解为y=C/lnx.
将C换成x的函数u，得y=u/lnx............(1)
将(1)对x取导数得y'=(u'lnx-u/x)/ln²x=(u'/lnx)-u/(xln²x)..........(2)
将(1)(2)代入原式并化简得：u'=lnx+1
分离变量得du=(lnx+1)dx
积分之，得u=∫lnxdx+∫dx=xlnx-∫dx+∫dx=xlnx+c
代入(1)式即得原方程的通解为y=(xlnx+c)/lnx=x+(c/lnx).

Answer 2

该方程为一阶线性微分方程
y′+

1

xlnx

y＝

lnx+1

lnx

因此，P(x)＝

1

xlnx

，Q(x)＝

lnx+1

lnx

．
代入一阶线性微分方程的求解公式，有
y＝e?∫

1

xlnx

dx(∫

lnx+1

lnx

e∫

1

xlnx

dxdx+C)
=

1

lnx

(∫

lnx+1

lnx

?lnxdx+C)
=

1

lnx

(∫( lnx+1 )dx+C)
=

1

lnx

(xlnx+C)
所以，原方程的通解为
y＝

1

lnx

(xlnx+C)＝x+

C

lnx