Question

关于高等代数性质的问题

1.在复数域上，n维线性空间上的一个线性变换ψ。可否找到一组基在此线性变化下的矩阵是上三角阵
2.矩阵AB=0，可以得到关于矩阵A，B的什么性质或者相关性质？
3.V上ψ和σ线性变换的值域相同，可以得到什么结论和性质？

Answer 1

1.在复数域中，线性空间中必定存在一组基，使线性变换ψ在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，而若儿当形矩阵即为上三角矩阵，这在不同的书里有不同的定义，有的书定义的是下三角矩阵，但是问题是等价的。有关这个定理的这个证明可以翻阅相关高等代数书籍。
2.假设A为列数为n的矩阵，AB=0说明B的列向量均是矩阵方程Ax=0的解，根据基础解析与系数矩阵的关系可知，解空间的维数为n-r（A），知r（B）<=解空间的维数，从而有r(A)+r(B)<=n
3.设V中的一组基为（e1，e2，,...，en），则由ψ和σ线性变换的值域相同，知
L（ψe1，ψe2，,...，ψen）=L（σe1，σe2，,...，σen），即向量组（ψe1，ψe2，,...，ψen）与
向量组（σe1，σe2，,...，σen）等价，则可知ψ和σ线性变换在基（e1，e2，,...，en）下的矩阵存在过度关系，设
（ψe1，ψe2，,...，ψen）=（e1，e2，,...，en）A
（σe1，σe2，,...，σen）=（e1，e2，,...，en）B
则存在非退化变换矩阵C，使得A=BC