Question

已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2（m-n）2（1）求a3，a5；（2）

已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2（m-n）2（1）求a3，a5；（2）设bn=a2n+1-a2n-1（n∈N*），求 {bn}的通项公式；（3）设cn=1an+1（n∈N*），Sn为数列{cn}的前n项和，若存在n使Sn＞M，求M的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20（2分）
（2）当n∈N^*时，由已知以n+2代替m可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差为8的等差数列（6分）
又{b_n}是首项为b₁=a₃-a₁=6，故b_n=8n-2（8分）
（3）由（1）（2）解答可知a_2n+1-a_2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
a_n=

a2n+1+a1

2

-（n-1）²．那么a_n-a_n-1=

a2n+1?a2n?1

2

-2n+3=

8n?2

2

-2n+3=2n+2，
故a_n=n（n-1）（12分）
故c_n=

1

an+1

＝

1

n(n+1)

，得c_n=

1

n

?

1

n+1

，
故Sn＝1?

1

2

+

1

2

?

1

3

++

1

n

?

1

n+1

＝1?

1

n+1

，（14分）
当n∈N^*时，1?

1

n+1

∈[

1

2

，1)，由题意若存在n使1?

1

n+1

＞M
则M＜1，即M的取值范围为M＜1．（16分）