Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3+x2[m2+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值？（Ⅲ）当a=2时，设函数h(x)＝(p?2)x?p+2ex?3，若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，试求实数p的取值范围．

Answer 1

（Ι）当a=1时，函数f（x）=alnx-ax-3=lnx-x-3；导函数为f′(x)＝

1

x

?1；
当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，当时x＞1时，函数f（x）单调递减；
故减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）；
（Ⅱ）∵g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]＝x3+(2+

m

2

)x²-2x，
∴g‘（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵g（x）在区间（t，3）上总存在极值，∴g‘（x）=3x²+（4+m）x-2在区间（t，3）上存在零点，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0.

解得?

37

3

＜m＜?9．
所以当m∈(?

37

3

，?9)时，对于任意的t∈[1，2]函数g(x)＝x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值．
（Ⅲ）∴令F(x)＝h(x)?f(x)＝(p?2)x?

p+2e

x

?3?2lnx+2x+3＝px?

p

x

?

2e

x

?2lnx
①当p≤0时，由x∈[1，e]得px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立；
②当p＞0时，F'（x）=

px2?2x+p+2e

x2

，∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px²+p＞0，F'（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．
∴F(x)max＝F(e)＝pe?

p

e

?4．
故只要pe?

p

e

?4＞0，解得p＞

4e

e2?1

．所以p的取值范围是(

4e

e2?1

，+∞)．