Question

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=f(b)-f(a)b-a，则称

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=f(b)-f(a)b-a，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“平均值函数”；②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥a+b2；③若函数f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜1ab．其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

①容易证明正确．函数f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“平均值函数”；-1就是它的均值点．
②不正确．反例：f（x）=x在区间[0，6]上．
③正确．由定义：x02-mx0-1=

-m-m

2

得x02-1=(x0-1)m?m=x0+1，
又x₀∈（-1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．
④正确．理由如下：由题知lnx0=

lnb-lna

b-a

．
要证明lnx0＜

1

ab

，即证明：

lnb-lna

b-a

＜

1

ab

?ln

b

a

＜

b-a

ab

=

b a

-

a b

，
令

b a

=t＞1，原式等价于lnt2＜t-

1

t

?2lnt-t+

1

t

＜0．
令h(t)=2lnt-t+

1

t

(t＞1)，则h′(t)=

2

t

-1-

1

t2

=

-t2+2t-1

t2

=-

(t-1)2

t2

＜0，
所以h(t)=2lnt-t+

1

t

＜h(1)=0得证．
故答案为：①③④．