Question

习题“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：（1

习题“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．试探索以下问题：（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与D...”的分析与解答如下所示：

Answer 1

我看看会不，你先采下吧

追答

亲，在不？

解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，
∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∴∠DEC=120°，
∴∠DEB=120°-90°=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴BD=BE=AE，即AE=DB．
故答案为：=．

（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：
如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
{
∠DEB=∠ECF
∠DBE=∠EFC
DE=CE
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD=EF=AE，即AE=BD，

（3）解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：
①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=
1
2
BC=
1
2
，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴
AB
BE
=
BM
BN
，
∴
1
2-1
=
1
2
，
∴BN=
1
2
，
∴CN=1+
1
2
=
3
2
，
∴CD=2CN=3；

②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=
1
2
BC=
1
2
，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴
AB
AE
=
BM
MN
，
∴
1
2
=
1
2
MN，
∴MN=1，
∴CN=1-
1
2
=
1
2
，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．

追问

你真牛逼

是你自己做的吗

追答

是啊

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