证明：若一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组也线性无关。
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反证法：若某一个部分向量组线性相关，则原向量组线性相关
设原向量组为x1,x2……xn,如果某个部分向量组线性相关比如x1,x2,x3,
就是说a1*x1+a2*x2+a3*x3=0 时，a1,a2,a3,不全为0，则对b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0该式成立，就是b1到bn不全为0
所以原向量组线性相关
设原向量组为x1,x2……xn,如果某个部分向量组线性相关比如x1,x2,x3,
就是说a1*x1+a2*x2+a3*x3=0 时，a1,a2,a3,不全为0，则对b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0该式成立，就是b1到bn不全为0
所以原向量组线性相关
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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反证法
向量组{an}线性无关
假设部分向量组 {ani}, {ni}是1,2,...,n的一个子集
若{ani}线性相关
则存在不全为零的数列，{kni}
使得sigma kni ani =0
然后把向量组补全，令补上的向量的kn全是0 （kni依旧不变）
我们就有
sigma kn an =0, 其中kn不全为零，这与原线性向量组线性无关矛盾
所以矛盾
原结论成立
向量组{an}线性无关
假设部分向量组 {ani}, {ni}是1,2,...,n的一个子集
若{ani}线性相关
则存在不全为零的数列，{kni}
使得sigma kni ani =0
然后把向量组补全，令补上的向量的kn全是0 （kni依旧不变）
我们就有
sigma kn an =0, 其中kn不全为零，这与原线性向量组线性无关矛盾
所以矛盾
原结论成立
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