Question

如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的

如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长.

Answer 1

(1)证明见解析；（1） ；5.

试题分析：（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD； （2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出 ， ，进而得出 ，即 ，即可得出答案； ②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出 ，求出即可． 试题解析：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点， ∴∠DAP=∠PAB，AD=AB， ∵在△APB和△APD中 ， ∴△APB≌△APD（SAS）； （2）解：①∵△APB≌△APD， ∴DP=PB，∠ADP=∠ABP， ∵在△DFP和△BEP中， ， ∴△DFP≌△BEP（ASA）， ∴PF=PE，DF=BE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴GD∥AB， ∴ ， ∵DF：FA=1：2， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ； ②当x=6时， ， ∴PF=PE=4，DP=PB=6， ∵ ， ∴ ， 解得：FG=5， 故线段FG的长为5．