Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a＜0）有两个极值点x1=1，x2=3，当x∈[12，4]时，f（x）＜3d2恒成立，则

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a＜0）有两个极值点x1=1，x2=3，当x∈[12，4]时，f（x）＜3d2恒成立，则d的取值范围是______．

Answer 1

∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＜0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c（a＜0）
依题意有 3和1是方程3ax²+2bx+c=0的两根．
∴

? 2b 3a ＝4 c 3a ＝3

解得

b＝?6a c＝9a

，∴f（x）=ax³-6ax²+9ax+d．
f′（x）=3ax²-12ax+9a，
f（x）＜3d²恒成立，?ax³-6ax²+9ax+d＜3d²恒成立，?3d²-d＞ax³-6ax²+9ax恒成立，
?3d²-d大于ax³-6ax²+9ax在x∈[

1

2

，4]上的最大值，
∵ax³-6ax²+9ax在x∈[

1

2

，1]上是增函数，在x∈[1，3]上是减函数，
在x∈[3，4]上是减函数，且当x=1和x=4的函数值相等，
∴3d²-d＞a×1³-6a×1²+9a×1，
即3d²-d＞4a，
∴d＞

1+ 1?48a

6

或d＜

1? 1?48a

6

．
即为d的取值范围．