Question

（2014?甘肃二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延

（2014?甘肃二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM?MB=DF?DA．

Answer 1

证明：（1）连接OC，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．…（3分）
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（5分）
（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM²=AM?MB．
又∵DC是⊙O的切线，∴DC²=DF?DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM?MB=DF?DA…（10分）