(2013?苍梧县一模)如图,抛物线y=?38x2?34x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(
(2013?苍梧县一模)如图,抛物线y=?38x2?34x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对...
(2013?苍梧县一模)如图,抛物线y=?38x2?34x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)在过点E(4,0)的真线上是否存在这样的点M,使得∠AMB为直角?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)令y=0,则-
x2-
x+3=0,
整理得,x2+2x-8=0,
解得x1=-4,x2=2,
∴点A(-4,0),B(2,0);
(2)令x=0,则y=3,
所以,点C的坐标为(0,3),
又∵AB=2-(-4)=2+4=6,
∴S△ABC=
×6×3=9,
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,
解得
,
所以,直线AC的解析式为y=
x+3,
抛物线的对称轴为直线x=-
=-1,
所以,x=-1时,y=(-1)×
+3=
,
设对称轴与直线AC相交于H,
则点H的坐标为(-1,
),
∵△ACD的面积等于△ACB的面积,
∴S△ACD=S△ADH+S△CDH,
=
DH×4=9,
解得DH=
,
点D在AC的上方时,
+
=
,
此时点D的坐标为(-1,
),
点D在AC的下方时,
-
=-
,
此时,点D的坐标为(-1,-
),
综上所述,△ACD的面积等于△ACB的面积时,点D的坐标为(-1,
)或(-1,-
);
(3)根据直径所对的圆周角是直角,以AB为直径作⊙F,
则过点E的直线与⊙F的切点即为所求的点M,
如图,连接FM,过点M作MN⊥x轴于N,
∵A(-4,0),B(2,0),E(4,0),
∴点F(-1,0),
FM=
×6=3,EF=4+1=5,
根据勾股定理,ME=
=
=4,
易得△FMN∽△FEM,
∴
=
=
,
即
=
=
,
解得MN=
,FN=
,
∴ON=FN-OF=
-1=
,
∴点M在x轴上方时,点M的坐标为(
,
),
点M在x轴下方时,点M的坐标为(
,-
),
综上所述,点M的坐标为(
,
)或(
,-
).
3 |
8 |
3 |
4 |
整理得,x2+2x-8=0,
解得x1=-4,x2=2,
∴点A(-4,0),B(2,0);
(2)令x=0,则y=3,
所以,点C的坐标为(0,3),
又∵AB=2-(-4)=2+4=6,
∴S△ABC=
1 |
2 |
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
|
解得
|
所以,直线AC的解析式为y=
3 |
4 |
抛物线的对称轴为直线x=-
?
| ||
2×(?
|
所以,x=-1时,y=(-1)×
3 |
4 |
9 |
4 |
设对称轴与直线AC相交于H,
则点H的坐标为(-1,
9 |
4 |
∵△ACD的面积等于△ACB的面积,
∴S△ACD=S△ADH+S△CDH,
=
1 |
2 |
解得DH=
9 |
2 |
点D在AC的上方时,
9 |
2 |
9 |
4 |
27 |
4 |
此时点D的坐标为(-1,
27 |
4 |
点D在AC的下方时,
9 |
4 |
9 |
2 |
9 |
4 |
此时,点D的坐标为(-1,-
9 |
4 |
综上所述,△ACD的面积等于△ACB的面积时,点D的坐标为(-1,
27 |
4 |
9 |
4 |
(3)根据直径所对的圆周角是直角,以AB为直径作⊙F,
则过点E的直线与⊙F的切点即为所求的点M,
如图,连接FM,过点M作MN⊥x轴于N,
∵A(-4,0),B(2,0),E(4,0),
∴点F(-1,0),
FM=
1 |
2 |
根据勾股定理,ME=
EF2?FM2 |
52?32 |
易得△FMN∽△FEM,
∴
MN |
ME |
FN |
FM |
FM |
EF |
即
MN |
4 |
FN |
3 |
3 |
5 |
解得MN=
12 |
5 |
9 |
5 |
∴ON=FN-OF=
9 |
5 |
4 |
5 |
∴点M在x轴上方时,点M的坐标为(
4 |
5 |
12 |
5 |
点M在x轴下方时,点M的坐标为(
4 |
5 |
12 |
5 |
综上所述,点M的坐标为(
4 |
5 |
12 |
5 |
4 |
5 |
12 |
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