Question

有3个球，4个盒子，盒子编号为1，2，3，4，将球逐个独立随机地放入4个盒子中。

设X为在其中至少有一个球的盒子的最小号码（如X＝3表示第一、二号盒子空着），球X的期望。

Answer 1

x=1，时我们考虑对立事件即第一个盒子没有球p（x>=2）=27/64那么p（x=1）=1-p（x>=2）=37/64.
x=2，时我们考虑对立事件即第二个盒子没有球p（x>=3和x=1）=37/64+8/64=45/64那么p（x=2）=1-p（x>=3和x=1）=19/64.
x=3，时我们考虑对立事件即第三个盒子没有球p（x<=2和x=4）=37/64+19/64+1/64=57/64那么p（x=1）=1-p（x<=2和x=4）=7/64.
x=1，时我们直接考虑p=1/64
那么期望就是25/16
对不对，我也在做这题。

Answer 2

x的取值为1,2,3,4.
p(x=1)=[C3取1*3^2+C3取2*3+C3取3]/4^3=37/64
p(x=2)=[C3取1*2^2+C3取2*2+C3取3]/4^3=19/64
p(x=3)=[C3取1*3^1+C3取2*1+C3取3]/4^3=7/64
p(x=1)=1/4^3=1/64
E(x)=1*37/64+2*19/37+3*7/36+4*1/36=25/16

Answer 3

我很佩服上面的答案，不过有一点要提醒一下：
前面20种方法概率并不一样。请上面同学更改下就没问题了。

Answer 4

直接求可以求出来，分布列如下：
X 1 2 3 4
P 10/20 6/20 3/20 1/20
期望EX=1*(10/20)+2*(6/20)+3*(3/20)+4*(1/20)

追问

答案不是这样，答案是25/16。

追答

不知道咧，我把想法写一下吧，如果你发现有问题欢迎指出来。
首先，把3个球放入4个盒子一共有20种情况。
证明:3个球放盒子的情况如下
3-0-0-0 3个球放入某个盒子，共有4个盒子可以选择，所以有4种情况
2-1-0-0 2个球放入其中一个盒子，剩下一个球放入另外一个盒子，我们首先从4个盒子选个，
共C（4,2）=6中，选出的两个盒子可以在第一个盒子放入两个球，第二个盒子放入1个
球，也可以在第一个盒子放入一个球，第二个盒子放入两个球，共两种方法，所以由
乘法原理，可得总共2C(4,2)=12种情况
1-1-1-0 从4个盒子选3个盒子，每个盒子放入1个球，共有C（4,3）=4种情况
所以，总共的放法有：4+12+4=20种。
令X表示“至少有一个球的盒子的最小号码”这个事件，X可去1,2,3,4
当X=1时，可知第一个盒子已经有1个球了，所以，我们只需要思考剩下的两个球怎么放入4个盒子，就可以求出X=1的情况数。和上面的方法一样，知道只有2-0-0-0和1-1-0-0可求出方法数为C（4,1）+C（4,2）=10，因此P(X=1）=10/20
求X=2，但是注意到最小是2，所以剩下的两个球只能选2,3，4号盒子，情况为2-0-0和1-1-0
所以C（3,1）+C（3,2）=6，因此P（X=2）=6/20
方法类似的，可以求出P（X=3)=3/20，P（X=4）=1/20
那么就可以得到我写的分布列
有了分布列，就可以求出X的期望
不知道这样是不是可以了？