Question

求解释一数学题，有答案的 高中数学必修四

G是△ABC的重心，过点G的直线与边AB ，AC 相交于E，F，若向量AE=λ向量AB，向量AF=μ向量AC（0＜λ，μ＜1），求证λ+μ≥4/3

答案有一段是：3(λ+μ)=(1/λ+1/μ)(λ+μ)=2+(λ/μ+μ/λ)≥2+2√（λ/μ·μ/λ）为什么？

同样，为什么可以有0＜1/λ+1/μ≤[(1/λ+1/μ)/2]^2

Answer 1

这道题目非常好
设BC中点为D
AG=2/3*AB=1/3(AB+AC)=AE/3λ+AF/3μ
由向量三点共线定理，GEF三点共线1/3λ+1/3μ=1 =>1/λ+1/μ=3为定值

3(λ+μ)=(1/λ+1/μ)(λ+μ)=2+(λ/μ+μ/λ)≥2+2√（λ/μ·μ/λ）是利用3的代换，然后运用基本不等式求最小值

同样，为什么可以有0＜1/λ+1/μ≤[(1/λ+1/μ)/2]^2 这里可能答案有问题
对基本不等式a+b>=2根ab 两边平方得ab<=[(a+b)/2]^2
所以1/λ*1/μ≤[(1/λ+1/μ)/2]^2

追问

为什么？2+(λ/μ+μ/λ)≥2+2√（λ/μ·μ/λ）

追答

基本不等式a+b>=2√ab
所以(λ/μ+μ/λ)≥2√（λ/μ·μ/λ）=2
2+(λ/μ+μ/λ)≥2+2√（λ/μ·μ/λ）