Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求证：y=

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求证：y=f（x）是奇函数； （2）求证：函数y=f（x）在R上为减函数．（3）试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？若有求出最值；若没有，说出理由．

Answer 1

证明：（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）?f（0）=0． 令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，  即f（-x）=-f（x）， ∴f（x）是奇函数． …（5分） （2）任取x 1 ＜x 2 ，则x 2 -x 1 ＞0．?f（x 2 -x 1 ）＜0． ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（-x 2 ）=f（x 1 -x 2 ）=-f（x 2 -x 1 ）＞0， ∴f（x 1 ）＞f（x 2 ）， ∴y=f（x）在R上为减函数． …（10分） （3）由（2）y=f（x）在R上为减函数， ∴y=f（x）在[-3，3]上为减函数，f（3）为函数的最小值，f（-3）为函数的最大值．  又f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6， ∴函数最大值为6，最小值为-6…（14分）

Answer 2

有最大值f(3)，最小值f(-3).
1令x=0，y=0，可知f(0)=0
2令y=-x，可知f(-x)=-f(x)，所以该函数是奇函数。即当x＞0时，f(x)＞0，x<0时，f(x)<0。
3当x＞0时，f(x+y)=f(x)+f(y）若y>0,即当x+y>x时，f(x+y)>f(x）,可知函数单调递增。
所以最大值是f(3)，最小值f(-3).