四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=2a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=2a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直线PB与AC垂直；（3）求二面角A-PB-...
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=2a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直线PB与AC垂直；（3）求二面角A-PB-D的大小；（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；（5）求四棱锥外接球的半径．
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（1）证明：∵PD=a，AD=a，PA=
a，
∴PD2+DA2=PA2，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）连接BD，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB∵PB?平面PDB
∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90°
（3）设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE
∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB
∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，PB＝
＝
a，
在Rt△PAB中，
∵S＝
PA?AB＝
?PB?AE
∴AE＝
＝
＝
a，AO＝
AC＝
| 2 |
∴PD2+DA2=PA2，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）连接BD，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB∵PB?平面PDB
∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90°
（3）设AC∩BD=0，过A作AE⊥PB于E，连接OE
∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB
∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，PB＝
| PD2+BD2 |
| 3 |
在Rt△PAB中，
∵S＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AE＝
| PA?AB |
| PB |
| ||
|
| ||
|
| 1 |
| 2 |
