Question

在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，sin（C-π6）=cosC（Ⅰ）求a+bsinA+sinB的值；（Ⅱ）

在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，sin（C-π6）=cosC（Ⅰ）求a+bsinA+sinB的值；（Ⅱ）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．

Answer 1

（Ⅰ）∵sin（C-

π

6

）=sinCcos

π

6

-cosCsin

π

6

=cosC，
∴sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
又C为三角形内角，
∴C=

π

3

，
∵c=2，
∴由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin60°

=

4 3

3

，
∴a=

4 3

3

sinA，b=

4 3

3

sinB，
则

a+b

sinA+sinB

=

4 3 3 (sinA+sinB)

sinA+sinB

=

4 3

3

；
（2）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又a+b=ab，
∴（ab）²-3ab-4=0，
解得：ab=4或ab=-1（舍去），
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×

3

2

=

3

．