Question

线性代数问题！

1）设n阶方阵A和B满足条件A^2-AB=E，已知A= 1 1 -1
0 1 1
0 0 -1，
求矩阵B，请写出相关过程，A,B，E 之间到底有什联系的公式？怎么化简题目？谢谢！
2）设方阵A满足A^2-2A-3E=0，那么A^（-1）=？过程~~~
3）已知矩阵A=0 0 1
2 3 0
4 5 0
秩等于3，为什么呢？

Answer 1

(1) 因为 A^2-AB=E
所以 AB = A^2-E
B = A^-1(A^2-E)

将矩阵 (A,A^2-E) 用初等行变换化为 (E,X)形式, X即为所求.
0 2 1
0 0 0
0 0 0

(2) 因为A^2-2A-3E=0
所以 A(A-2E) = 3E
所以 A^-1 = (1/3)(A-2E)

(3) r3-2r2, 再交换行得
2 3 0
0 -1 0
0 0 1
此为梯矩阵, 非零行数3即为矩阵的秩

追问

谢谢您，还是有点地方不能理解
1)A(A-2E) = 3E
所以 A^-1 = (1/3)(A-2E)，这两部我怎么都做不到，是不是有什么公式的转化呢？怎么变到A^-1呢？
2）将矩阵 (A,A^2-E) 用初等行变换化为 (E,X)形式, X即为所求. 。。。不是很能理解。。。答案上边的是：B=A-A^-1=...

追答

(1) 若 A,B 同阶, AB=E, 则A,B可逆, 且 A^-1=B, B^-1=A
A(A-2E) = 3E, 两边乘 (1/3) 即化为上式

(2) B = A^-1(A^2-E) = A-A^-1
这样求出A^-1就可以