Question

已知：如图，∠ADC=90°，DC ∥ AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．（1）求证：∠AFB=90°；

已知：如图，∠ADC=90°，DC ∥ AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．（1）求证：∠AFB=90°；（2）求证：△ADC≌△AEC；（3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明．

Answer 1

（1）证明：∵BA=BC，F是AC的中点（已知）， ∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）．（1分） ∴∠AFB=90°（垂直的定义）．（1分） （2）证明：∵AE⊥BC（已知）， ∴∠AEC=90°（垂直的定义）． ∵∠ADC=90°（已知）， ∴∠ADC=∠AEC（等量代换）．（1分） ∵DC ∥ AB（已知）， ∴∠DCA=∠CAB（两直线平行，内错角相等）． ∵BA=BC（已知）， ∴∠ECA=∠CAB（等边对等角）． ∴∠DCA=∠ECA（等量代换）．（1分） 在△ADC和△AEC中， ∠ADC=∠AEC(已证) ∠DCA=∠ECA(已证) AC=AC(公共边) ∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分） （3）DE与BF平行．（1分） 证明：设DE交AC于点H， ∵△ADC≌△AEC（已证）， ∴AD=AE，∠DAH=∠EAH（全等三角形对应边相等、对应角相等）．（1分） ∴BH⊥DE（等腰三角形的三线合一）．（1分） ∴∠AHE=90°（垂直的定义） ∵∠AFB=90°（已证）， ∴∠AFB=∠AHE（等量代换）．（1分） ∴DE ∥ BF（同位角相等，两直线平行）．