Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1， 9 2 ）． （1）求抛物线的函数关系式；（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；（3）如图②，连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF ∥ AC交线段BC于点F，连结CE，记△CEF的面积为S，求出S的最大值及此时E点的坐标．

Answer 1

（1）因为抛物线的顶点为（1， 9 2 ）， 所以设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1） 2 + 9 2 ， ∵抛物线与y轴交于点C（0，4）， ∴a（0-1） 2 + 9 2 =4． 解得：a=- 1 2 ． ∴所求抛物线的函数关系式为y=- 1 2 （x-1） 2 + 9 2 ． （2）如图①，过点C作CE⊥对称轴于点E， 当CD=CP 1 时，∵点C（0，4），顶点为（1， 9 2 ）， ∴CD= 4 2 + 1 2 = 17 ，DE=4， ∴CP 1 = 17 ，EP 1 =4， ∴P 1 的坐标为：（1，8）， 当CD=DP 2 时，P 2 的坐标为：（1， 17 ）， 当CP 3 =DP 3 时， 设CP 3 =DP 3 =y， ∴CE 2 +EP 23 =CP 23 ， ∴1+（4-y） 2 =y 2 ， 解得：y= 17 8 ， ∴P 3 的坐标为：（1， 17 8 ）， 当CD=DP 4 时， P 4 的坐标为：（1，- 17 ）， 综上所述：符合条件的所有P点坐标是： （1， 17 ），（1，- 17 ），（1，8），（1， 17 8 ）； （3）令- 1 2 （x-1） 2 + 9 2 =0， 解得：x 1 =-2，x 2 =4，． ∴抛物线y=- 1 2 （x-1） 2 + 9 2 与x轴的交点为A（-2，0），B（4，0）． 过点F作FM⊥OB于点M． ∵EF ∥ AC， ∴△BEF ∽ △BAC． MF CO = EB AB ． 又∵OC=4，AB=6， ∴MF= BE AB ×CO= 2 3 EB． 设E点坐标（x，0），则EB=4-x．MF= 2 3 （4-x）， ∴S=S △BCE -S △BEF = 1 2 EB?CO- 1 2 EB?MF， = 1 2 EB（OC-MF）= 1 2 （4-x）[4- 2 3 （4-x）] =- 1 3 x 2 + 2 3 x+ 8 3 =- 1 3 （x-1） 2 +3． Qa=- 1 3 ＜0， ∴S有最大值． 当x=1时，S 最大值 =3． 此时点E的坐标为（1，0）．