Question

已知函数 f(x)=( x 2 +x-a) e x a （a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间

已知函数 f(x)=( x 2 +x-a) e x a （a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x=-5时，f（x）取得极值．①若m≥-5，求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；②求证：对任意x 1 ，x 2 ∈[-2，1]，都有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≤2．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）= 1 a ( x 2 +x-a) e x a +（2x+1） e x a = 1 a x(x+1+2a) e x a ， 当a=1时，f′（x）=x（x+3）e x ， 解f′（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f′（x）＜0得-3＜x＜0， 所以f（x）的单调增区间为（-∞，-3）和（0，+∞），单调减区间为（-3，0）． （Ⅱ）①当x=-5时，f（x）取得极值，所以f′（-5）= 1 a (-5)(-5+1+2a) e x a =0 ， 解得a=2（经检验a=2符合题意）， f′（x）= 1 2 x(x+5) e x 2 ，当x＜-5或x＞0时f′（x）＞0，当-5＜x＜0时f′（x）＜0， 所以f（x）在（-∞，-5）和（0，+∞）上递增，在（-5，0）上递减， 当-5≤m≤-1时，f（x）在[m，m+1]上单调递减，f min （x）=f（m+1）=m（m+3） e m+1 2 ， 当-1＜m＜0时，m＜0＜m+1，f（x）在[m，0]上单调递减，在[0，m+1]上单调递增，f min （x）=f（0）=-2， 当m≥0时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min （x）=f（m）=（m+2）（m-1） e m 2 ， 综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值为 f min (x)= m(m+3) e m+1 2 ，-5≤m≤-1 -2，-1＜m＜0 (m+2)(m-1) e m 2 ，m≥0 ； ②令f′（x）=0得x=0或x=-5（舍）， 因为f（-2）=0，f（0）=-2，f（1）=0，所以f max （x）=0，f min （x）=-2， 所以对任意x 1 ，x 2 ∈[-2，1]，都有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≤f max （x）-f min （x）=2．