Question

在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建

在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．（Ⅰ）求曲线 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线 与曲线 交于点 ，若点 的坐标为 ，求 的值．

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ） .

试题分析：（Ⅰ）直接根据极坐标方程与直角坐标的转换关系式 结合三角函数中的两角和与差的三角函数公式即可实现将曲线 的参数方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线 的参数方程与曲线 的直角坐标方程联立转化为含 的一元二次方程，然后根据参数方程中的相关理论直接求 的值. 试题解析：（Ⅰ）由 ，得 ， 当 时，得 ， 对应直角坐标方程为： . 当 ， 有实数解，说明曲线 过极点，而方程 所表示的曲线也过原点. ∴曲线 的直角坐标方程为 ．　       3分 （Ⅱ）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ， 即 ，由于 ，故可设 是上述方程的两实根， 则 .      5分 ∵直线 过点 ， ∴由 的几何意义，可得 ．    7分