Question

如图所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.

如图所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．且 ，OA=4
（1）求直角梯形OABC的面积及直线BC的解析式；
（2）当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

• （2） 存在 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：
① 以点D为直角顶点，作 轴

设 . （图示阴影）
，在上面二图中分别可得到 点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）
E点在0点与A点之间不可能；
② 以点E为直角顶点
同理在②二图中分别可得 点的生标为P（－ ，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.
③ 以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得 点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），
E点在A点下方不可能.
综上可得 点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ ，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上解法⑴中所示图
，直线 的中垂线方程： ，令 得 ．由已知可得 即 化简得 解得 ；
第二类如上解法②中所示图
，直线 的方程： ，令 得 ．由已知可得 即 化简得 解之得 ，
第三类如上解法③中所示图
，直线 的方程： ，令 得 ．由已知可得 即 解得
（ 与 重合舍去）．
综上可得 点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ ，4）、
P（8，4）、P（4，4）．

Answer 2

（2） 存在 以点D为直角顶点，作 轴

设 . （图示阴影）
，在上面二图中分别可得到 点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）
E点在0点与A点之间不可能；
② 以点E为直角顶点
同理在②二图中分别可得 点的生标为P（－ ，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.
③ 以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得 点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），
E点在A点下方不可能.
综上可得 点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ ，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上解法⑴中所示图
，直线 的中垂线方程： ，令 得 ．由已知可得 即 化简得 解得 ；
第二类如上解法②中所示图
，直线 的方程： ，令 得 ．由已知可得 即 化简得 解之得 ，
第三类如上解法③中所示图
，直线 的方程： ，令 得 ．由已知可得 即 解得
（ 与 重合舍去）．
点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ ，4）、
P（8，4）、P（4，4）．

Answer 3

解：设BD的长为x，则当0＜t＜x时，扫过的面积为平行四边形，其面积为S＝CD×OA＝t×OA为一次函数，而当x＜t≤OC时，则扫过的阴影部分面积为梯形面积减去ΔODE(E在OA线段上)，故其面积为S＝S梯－SΔADE
∵
∴OP＝
∴S＝
＝
＝－
为关于为D的二次函数，故其图象为抛物线
由题可知0≤t≤2时，OM为直线段，而2≤t≤4时
MN为抛物线 故AB=2，OC=4
因t=2时，S=8 ∴|OA|= =4
∴S梯形OABC=
当2≤t≤4时，则S=
＝12－
＝12－
（2）BC点的坐标为(－2，4)与(－4，0)，故其所在直线y＝2x＋8　其斜率为k＝2
当L平移时，其斜率为k＝2
当平移距离为t时(左平移时t＜0，右平移时t＞0
则L与x轴交点为(－4＋t，0)设此时L的方程为y＝2x＋b
则有b＝－2(－4+t)=8－2t　故有L：y＝2x＋8－2t
与y轴交点为E(0，8－2t)，DE＝
而L与BC的距离为 （过D点作DM⊥AC于M，CD＝t，则可推出DM＝
若存在点P使得ΔPED为等腰直角三角形，则过P作PN⊥DE，必有PN＝DN＝EN，从而有
2×
即
解得t＝20　或t＝
当t＝20时，D、E坐标分别为(16，0)(0,－32),其中点坐标为(8,－16),过(8,－16)且与L垂直的直线方程为y＝－ ，与BC所在直线y＝2x＋8交点为(－8,－8)不在BC边上，故舍去
　当t＝ 时，D、E坐标分别为(－ ，0),(0, )，其中点坐标为(－ )，过 且与L垂直的直线方程为y＝－ 与直线y＝2x＋8交于点P
∴满足条件的P点坐标为
(注：与L：y＝kx＋b垂直的直线斜率为k′＝－ )

Answer 4

设BD的长为x

Answer 5

设BD的长为x

Answer 6

设BD的长为x