Question

在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=a1+2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；

在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=a1+2，且2a2，a4，3a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，求数列{anbn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）因为2a₂，a₄，3a₃成等差数列，
所以2a₄=2a₂+3a₃，
因为{a_n}为等比数列，所以2a₁q³=2a₁q+3a₁q²．
因为a₁≠0，q≠0，所以2q²-3q-2=0，即（q-2）（2q+1）=0．
因为q＞0，所以q=2
因为a₂=a₁+2，所以2a₁=a₁+2，所以a₁=2，
所以a_n=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=n，∴a_nb_n=n?2ⁿ
∴Sn＝2+2?22+…+n?2n
∴2Sn＝22+2?23+…+n?2n+1
两式相减可得?Sn＝2+22+…+2n?n?2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n?2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．