Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．（1）求证：∠EAF=45°；（2）作∠EFC的

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．（1）求证：∠EAF=45°；（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连结CG，求证：CG=2DF．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD；∠ADC=∠B=90°
∴将△ABE逆时针旋转90°至△ADM，如图1所示
∴△ABE≌△ADM
∴AM=AE；BE=DM；∠ADM=∠B=90°；∠DAM=∠BAE
∴∠ADM+∠ADC=180°
∴C、D、M在同一直线上
∴EF=DF+BE=DF+DM=MF，
在△AEF和△AMF中，

MF＝EF AF＝AF AM＝AE

，
∴△AEF≌△AMF（SSS），
∴∠AFD=∠AFE，∠MAF=∠EAF
又∵∠MAF+∠EAF=（∠DAM+∠DAF）+∠EAF=（∠BAE+∠DAF）+∠EAF=90°
∴∠EAF=∠MAF=45°

（2）如图2所示，作GN⊥DC的延长线于N，
∵∠AFD=∠AFE，FG平分∠EFC
∴∠EFG=∠CFG，
∴∠AFE+∠EFG=∠AFD+∠CFG=90°，
∴∠AFG=90°
又∠EAF=45°
∴△AFG是等腰直角三角形
∴AF=GF
∵∠FAD+∠AFD=90°
∴∠DAF=∠NFG，
∵∠ADF=∠GNF=90°
在△ADF和△FNG中，

AD＝FN ∠DAF＝∠NFG AF＝FG

，
∴△ADF≌△FNG（SAS），
∴FN=AD=DC；GN=DF
∴CN=FN-CF=DC-CF=DF=GN
∴△CGN是等腰直角三角形
∴CG=

2

CN=

2

DF