Question

如图，MN为⊙O的直径，⊙O的半径为2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+

如图，MN为⊙O的直径，⊙O的半径为2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为______．

Answer 1

作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得：
∵∠AMN=30°，
∴弧AN的度数是60°，
∵B为AN弧的中点，
∴弧BN的度数是30°，
∵NO⊥BC，
∴弧BN=弧CN，
∴弧CN的度数是30°，
∴弧AC=弧AN+弧CN=90°，
∴∠AOC=90°，
又∵OA=OC=2，
∴AC=

22+22

=2

2

．
即PA+PB的最小值为：2

2

，
故答案为：2

2

．