Question

已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca和a4+b4+c4的值

已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca和a4+b4+c4的值．

Answer 1

a+b+c=0，两边平方得：
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0，
∵a²+b²+c²=1，
∴1+2ab+2bc+2ca=0，
∴ab+bc+ca=-

1

2

；

ab+bc+ca=-

1

2

两边平方得：
a²b²+b²c²+c²a²+2ab²c+2abc²+2a²bc=

1

4

，
即a²b²+b²c²+c²a²+2abc（a+b+c）=

1

4

，
∴a²b²+b²c²+c²a²=

1

4

，
∵a²+b²+c²=1，
∴两边平方得：a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²=1，
∴a⁴+b⁴+c⁴=1-2（a²b²+b²c²+c²a²）=1-

1

2

=

1

2

．
故答案为：-

1

2

，

1

2

．